La notion de fonction, omniprésente dès les origines des sciences, se précise au XVIIe siècle pour les besoins de la physique.
Il devient alors possible, grâce au calcul infinitésimal, d'étudier les trajectoires, vitesses et accélérations d'objets en déplacement, comme les billes... ou les planètes.
L'intuition physique doit alors faire place à la rigueur d'un raisonnement mathématique. C'est l'occasion pour Newton, Leibniz et Bernoulli de mettre en évidence le concept sur lequel s'appuyer : celui des fonctions, précisément !
SOMMAIRE
Petit voyage à travers les âges : de l'expression à la fonction
Dossier 1 : Le concept de fonction
Une fonction f est un processus, une "boîte noire", qui, à partir d'un objet x pris dans un ensemble E, en fait correspondre un autre. Essayer de formaliser précisément cette idée naïve s'est révélé une belle gageure : des Babyloniens à Euler en passant par Newton et Leibniz, personne n'a su proposer une définition qui fasse l'unanimité!
Fonction ou application? / Vous avez dit "affine"? / Fonctions + itérations = fractales / Les fonctions dans la nature / Les fonctions en informatique
Dossier 2 : Continuité, dérivabilité, primitive
La notion de dérivée d'une fonction en un point est un concept directement issu de la physique, qui permet d'exprimer de manière quantitative la vitesse d'un mobile à chaque instant. Il n'est pas vrai que toute fonction continue soit dérivable; il est moins facile d'imaginer qu'il existe des fonctions continues qui ne sont dérivables en aucun point!
Continuité locale, continuité sur un intervalle / Provocantes fonctions discontinues / La controverse des cordes vibrantes / Effet de seuil : les aberrations de la discontinuité / Le théorème des valeurs intermédiaires / De la tangente à la dérivée / Souvent, fonction varie.../ Résoudre des équations : le théorème de Rolle à la rescousse / Approximations et dérivées successives / Interpoler, extrapoler et approximer : trois idées complémentaires / Une approche primitive de l'intégration
Dossier 3 : Courbes, graphes, équations
Pour les algébristes de la Renaissance, la fonction est une sorte de "formule magique" qui permet d'obtenir une solution à une équation polynomiale. Avec l'arrivée des solution à une équation polynomiale. Avec l'arrivée des coordonnées, les fonctions se transforment en graphiques, en courbes, en surfaces... avant de devenir plus abstraites.
Courbes et fonctions / Des courbes pour dessiner / Équations algébriques : une histoire sans fin! / Équations différentielles et variations / Les fonctions de plusieurs variables / Quand la relation n'est pas bien définie : les fonctions implicites
Dossier 4 : Nom d'une fonction !
Les fonctions sont la dynamique des maths. Elles nouent des relations entre les nombres, les figures géométriques, les structures algébriques ...Les classifier en fonction de leur spécificité s'est naturellement imposé. Cette nomenclature a permis d'immortaliser les patronymes de savants comme Euler, Lagrange ou Tchebychev.
Ces incontournables fonctions polynomiales / Les fonctions trigonométriques/ Discrètes et fondamentales : les fonctions arithmétiques / Euler et la postérité de son indicatrice / Monstrueuses fonctions! / Les séries de fonctions / Une nouvelle approche combinatoire : les fonctions génératrices / Les variables aléatoires / Les fonctions spécifiques aux statistiques / Analyse fonctionnelle : les opérateurs sont dans la place / Les distributions de Schwartz
Et aussi
Les fonctions dans la vie courante / Fonctions et manipulation / Elles ont un nom
Et toujours
En bref - Note de lecture - problèmes - solutions
Il devient alors possible, grâce au calcul infinitésimal, d'étudier les trajectoires, vitesses et accélérations d'objets en déplacement, comme les billes... ou les planètes.
L'intuition physique doit alors faire place à la rigueur d'un raisonnement mathématique. C'est l'occasion pour Newton, Leibniz et Bernoulli de mettre en évidence le concept sur lequel s'appuyer : celui des fonctions, précisément !
SOMMAIRE
Petit voyage à travers les âges : de l'expression à la fonction
Dossier 1 : Le concept de fonction
Une fonction f est un processus, une "boîte noire", qui, à partir d'un objet x pris dans un ensemble E, en fait correspondre un autre. Essayer de formaliser précisément cette idée naïve s'est révélé une belle gageure : des Babyloniens à Euler en passant par Newton et Leibniz, personne n'a su proposer une définition qui fasse l'unanimité!
Fonction ou application? / Vous avez dit "affine"? / Fonctions + itérations = fractales / Les fonctions dans la nature / Les fonctions en informatique
Dossier 2 : Continuité, dérivabilité, primitive
La notion de dérivée d'une fonction en un point est un concept directement issu de la physique, qui permet d'exprimer de manière quantitative la vitesse d'un mobile à chaque instant. Il n'est pas vrai que toute fonction continue soit dérivable; il est moins facile d'imaginer qu'il existe des fonctions continues qui ne sont dérivables en aucun point!
Continuité locale, continuité sur un intervalle / Provocantes fonctions discontinues / La controverse des cordes vibrantes / Effet de seuil : les aberrations de la discontinuité / Le théorème des valeurs intermédiaires / De la tangente à la dérivée / Souvent, fonction varie.../ Résoudre des équations : le théorème de Rolle à la rescousse / Approximations et dérivées successives / Interpoler, extrapoler et approximer : trois idées complémentaires / Une approche primitive de l'intégration
Dossier 3 : Courbes, graphes, équations
Pour les algébristes de la Renaissance, la fonction est une sorte de "formule magique" qui permet d'obtenir une solution à une équation polynomiale. Avec l'arrivée des solution à une équation polynomiale. Avec l'arrivée des coordonnées, les fonctions se transforment en graphiques, en courbes, en surfaces... avant de devenir plus abstraites.
Courbes et fonctions / Des courbes pour dessiner / Équations algébriques : une histoire sans fin! / Équations différentielles et variations / Les fonctions de plusieurs variables / Quand la relation n'est pas bien définie : les fonctions implicites
Dossier 4 : Nom d'une fonction !
Les fonctions sont la dynamique des maths. Elles nouent des relations entre les nombres, les figures géométriques, les structures algébriques ...Les classifier en fonction de leur spécificité s'est naturellement imposé. Cette nomenclature a permis d'immortaliser les patronymes de savants comme Euler, Lagrange ou Tchebychev.
Ces incontournables fonctions polynomiales / Les fonctions trigonométriques/ Discrètes et fondamentales : les fonctions arithmétiques / Euler et la postérité de son indicatrice / Monstrueuses fonctions! / Les séries de fonctions / Une nouvelle approche combinatoire : les fonctions génératrices / Les variables aléatoires / Les fonctions spécifiques aux statistiques / Analyse fonctionnelle : les opérateurs sont dans la place / Les distributions de Schwartz
Et aussi
Les fonctions dans la vie courante / Fonctions et manipulation / Elles ont un nom
Et toujours
En bref - Note de lecture - problèmes - solutions
